魔方的数学结构：置换、群与状态图

看到一段把魔方表示成三组圆环的动画，我想弄清两个问题：那些圆点为什么能够代替魔方上的色块？理解这种表示，是否就能理解怎样复原魔方？这篇笔记从群论和魔方的基础开始，逐步走到置换、交换子与最短路径。^[1]

魔方与三组圆环并排展示的动画截图

一、群论基础

集合、映射与置换

集合是一组对象。例如， $P = {1, 2, 3, 4}$ 是四个编号组成的集合。映射 $f : P \to P$ 为每个输入指定唯一的输出。写成 $f (1) = 3$ ，意思是把编号 1 送到编号 3。

如果不同输入不会送到同一个输出，并且每个输出都有输入与之对应，这个映射就是双射。对有限集合而言，双射把所有对象重新安排一遍，既没有重复，也没有遗漏。一个集合到自身的双射称为置换。把四张有编号的卡片重新排列，就是一个例子。

为什么强调双射？因为每个输出都能唯一地追溯到原来的输入。于是这个操作可以撤销。将卡片合并、丢弃或复制，都失去了这种可逆性。

操作的复合

“运算”不只指数字的加法或乘法。先做一个动作 $a$ ，再做另一个动作 $b$ ，也可以合成一个新动作，记为 $a * b$ 。例如，先把正方形顺时针转 $90^{\circ}$ ，再转 $180^{\circ}$ ，整体效果等于顺时针转 $270^{\circ}$ 。

后文省略乘号，写 $a b$ 表示“先做 $a$ ，再做 $b$ ”。这是本文对动作串的统一约定。它与很多教材中普通函数复合的记号不同： $f \circ g$ 通常表示先做 $g$ ，再做 $f$ 。读公式时要辨认使用的是哪一种记法。

相同的整体效果视为同一个操作。转一整圈与完全不转，对正方形四个顶点的最终位置没有区别；群论在这里比较最终作用，而不记录手走过的轨迹。

群的定义与公理

设 $G$ 是一组操作， $*$ 是组合这些操作的运算。如果满足下面的条件， $(G, *)$ 就构成一个群。这些条件都对集合中的任意元素成立。^[2]

封闭性：做完集合中的两个操作，得到的整体操作仍属于这个集合。

a, b \in G ⟹ a * b \in G .

结合律：连续做三件事，可以先把前两件看作整体，也可以先把后两件看作整体。

(a * b) * c = a * (b * c) .

这里没有交换动作的先后，只改变了分组方式。

单位元：存在一个“不改变结果”的操作 $e$ ，放在任一操作前后都不影响它。

e * a = a * e = a .

逆元：每个操作 $a$ 都有一个撤销它的操作 $a^{- 1}$ 。

a * a^{- 1} = a^{- 1} * a = e .

有些教材把封闭性包含在“二元运算”的定义中，因此只另列三条公理，内容相同。群的定义不要求交换律 $a * b = b * a$ 。结合律讨论括号，交换律讨论顺序，二者是不同的问题。

正方形旋转与循环群

给正方形的四个顶点贴上 A、B、C、D。只允许绕中心旋转整数个 $90^{\circ}$ ，令 $r$ 表示顺时针转一次，便得到

C_{4} = {e, r, r^{2}, r^{3}}, r^{4} = e .

指数表示重复次数， $r^{2} = r r$ ； $r^{0} = e$ 。两次旋转组合时，把指数相加，超过一整圈的部分可以去掉。

r^{a} r^{b} = r^{(a + b) mod 4} .

“模 4”就是除以 4 后保留余数，例如 $5 mod 4 = 1$ ，所以 $r^{3} r^{2} = r$ 。因为 $r r^{3} = r^{4} = e$ ， $r$ 的逆元是 $r^{3}$ ； $r^{2}$ 则是自己的逆元。这个例子满足交换律，但不能由此推断其他群也满足。

试着正转四次，或者正转一次再逆转一次。比较顶点标记，而不只看正方形的外轮廓。

置换的循环分解

循环 $(1 2 3 4)$ 表示一个同步操作： $1 \to 2$ 、 $2 \to 3$ 、 $3 \to 4$ 、 $4 \to 1$ 。它不是让四个对象轮流行动的四步指令。反向沿循环走，就得到逆置换 $(1 4 3 2)$ 。

一个置换可能包含多个互不相交的循环。例如 $(1 2) (3 4 5)$ 同时交换 1、2，并让 3、4、5 循环。由于操作的对象互不重叠，这两个循环可交换执行顺序；有重叠的循环则一般不能。

任何有限置换都可以这样分解。方法是从一个编号出发，反复追踪它被送到哪里，直到回到起点；再从一个尚未访问的编号开始。没有移动的编号是长度为 1 的循环，通常省略。

群的基本概念与排列奇偶性

群的阶 $| G |$ 是群中元素的数量。元素的阶 $ord (a)$ 是使 $a^{k} = e$ 成立的最小正整数 $k$ 。在 $C_{4}$ 中，群的阶为 4，但元素 $r^{2}$ 的阶为 2。对互不相交的循环，要让它们同时归位，重复次数必须是所有循环长度的公倍数，因此置换的阶等于这些长度的最小公倍数。

能通过反复组合及取逆产生全部操作的一组元素，称为生成元。记号 $⟨ r ⟩ = C_{4}$ 表示由 $r$ 生成整个旋转群。若从一个群中选出的部分元素，在原运算下仍构成群，就称为子群。例如 ${e, r^{2}}$ 是 $C_{4}$ 的子群。

$n$ 个不同对象的全部置换构成对称群 $S_{n}$ 。第一个位置有 $n$ 种选择，第二个有 $n - 1$ 种，依次相乘，得到它的阶

| S_{n} | = n! = n (n - 1) \dots 2 \cdot 1.

最后介绍一个判断排列是否合法的工具。只交换两个对象称为对换。任何置换都能分解成对换；虽然分解方式不唯一，对换次数的奇偶性却保持一致，因此可以区分偶排列与奇排列。用符号 $sgn (π)$ 表示，偶排列为 $+ 1$ ，奇排列为 $- 1$ ，组合时两者的符号相乘。^[3]

长度为 $k$ 的循环可分解成 $k - 1$ 次对换，所以

sgn (k -循环) = (- 1)^{k - 1} .

例如 4-循环是奇排列，3-循环是偶排列；两个奇排列组合后是偶排列。后面魔方的一个重要限制就来自这条规则。

二、三阶魔方的结构与表示

小块、贴纸与状态

三阶魔方的外观是每面 $3 \times 3$ 格，共六个面。但学习它的规则时，应先辨认实际一起运动的小块。

小块	个数	每块的贴纸数	需要追踪的信息
中心块	6	1	给六个面提供参考颜色
棱块	12	2	位置和翻转方向
角块	8	3	位置和扭转方向

因此贴纸总数为 $6 + 12 \times 2 + 8 \times 3 = 54$ 。例如，白红绿角块上的三张贴纸属于同一块塑料，任何转动都必须带着它们一起走。它们不能像三张独立卡片那样自由排列。^[4]

贴纸是可以被跟踪的对象，贴纸位置是某一面上的固定格子。白色贴纸可以从上面移到前面，但“上面左上角”这个位置的定义不变。整个状态则必须记录所有小块的位置及方向，不能只描述某一张贴纸。

小块的位置与方向

棱块占据一个位置时有两种方向。比如白红棱块即使回到了白、红两中心之间，也可能把白色朝向红面、红色朝向白面，这叫翻转。

角块在一个角位置有三种方向。白红绿角块可以绕自身的角方向扭转 $120^{\circ}$ ，仍占据原来的位置，却让三张贴纸分别朝向错误的面。

因此复原需要同时满足两件事：块的位置正确，块的方向也正确。本文讨论常见的纯色三阶魔方，不计中心贴纸上的箭头、文字或图案是否转正。

参照系与转动记号

固定一套观察方向：上白、下黄、前绿、后蓝、右红、左橙。相对面分别是白／黄、绿／蓝、红／橙。中心块给出这套坐标，在本文的模型中保持固定。

面	上	下	右	左	前	后
记号	U	D	R	L	F	B

单独一个字母表示该面顺时针转 $90^{\circ}$ ，撇号表示逆时针 $90^{\circ}$ ，后缀 2 表示转 $180^{\circ}$ 。例如 R' 是右面逆转，U2 是上面半转。顺时针必须从所转面的外侧、正对那个面判断，背面和底面也遵守同一规则。^[5]

转一个外层，会同时带动四个角块、四个棱块，以及该面的中心朝向；纯色中心本身的位置不变。本文只开放这六个外层的转动。整体拿起魔方换方向属于改变观察坐标，暂不作为新的打乱状态。

三、魔方群与操作复合

把六种基本面转动、它们的逆操作，以及任意有限次组合得到的操作放在一起，定义

G = ⟨ U, D, R, L, F, B ⟩ .

封闭性在定义中已经包含：两串合法转动接起来，仍是一串合法转动。结合律来自操作复合，三串动作的分组不影响实际执行顺序。空动作是单位元 $e$ 。每一步都能反向转回去，整个序列也有逆元，因此这些操作构成一个群。^[2]

动作序列与群元素

把右面连续转四次，所有贴纸都会归位，因此

R^{4} = e, R^{- 1} = R^{3} .

R R R R 与空动作的写法、长度都不同，但代表同一个群元素。魔方群的元素可以理解为“一个确定的最终置换”，动作串则是描述它的一种方式。寻找短解，就是在许多等效动作串中寻找较短的表达。

给 48 张非中心贴纸分别编号，任何合法操作都对应一个置换，而且不同操作可由这些编号的最终位置区分。因此 $G$ 可以看作 $S_{48}$ 的一个子群。它只占全部贴纸置换中的很小一部分，因为小块绑定和机械结构限制了允许的变化。

复合操作的逆元

先做 $A$ ，再做 $B$ ，撤销时应先撤销最后做的 $B$ ，再撤销 $A$ 。于是

(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1} .

例如 R U F2 的逆序是 F2 U' R'。将两串接起来，最中间的 F2 F2 先抵消，随后 U U' 和 R R' 依次抵消。

记录完整打乱过程，就能这样复原。但面对一个来历未知的状态，我们通常并不知道当初的动作串。可逆性保证存在撤销操作，并没有直接告诉我们如何找到它。

操作的交换性

右层与左层互不重叠，所以 $R L = L R$ 。相邻的右层与上层则共享小块，先转右面会改变随后上面转动所涉及的对象，因此 $R U \neq U R$ 。

两个操作是否相等可以严格检查：只要找到一张贴纸在两种顺序下到达不同位置，就足以证明两个置换不同。这里比较的是整个置换，不是某个恰巧颜色相同的局部画面。

四、面转动的置换表示与圆环模型

贴纸编号与面转动的循环分解

从每个面的外侧正视它，按行把九个位置编号为 1 到 9，中心为 5。U1 表示上面的左上角位置；复原起点上位于该格的贴纸，也命名为“原始 U1 贴纸”。转动以后，两者可能不再重合。

采用六面展开图的连续朝向：前面向上接 U、向下接 D、向右接 R、向左接 L，B 接在 R 的右边。这样下面的编号和动画保持一致。^[6]

一次 U 转动产生五个互不相交的 4-循环：

\begin{aligned} U = & (U 1 U 3 U 9 U 7) \\ (U 2 U 6 U 8 U 4) \\ (R 1 F 1 L 1 B 1) \\ (R 2 F 2 L 2 B 2) \\ (R 3 F 3 L 3 B 3) . \end{aligned}

前两个循环在上面内部：四张角贴纸循环，四张棱贴纸循环。后三个循环连接四个侧面的顶行，共移动 12 张贴纸。于是一次外层四分之一转总共改变 $8 + 12 = 20$ 张编号贴纸的位置，其余 34 张不动。

注意，这里的“角贴纸”是角块上的一个可见面。一个角块的三张贴纸会分别出现在不同的贴纸循环中；这与它们仍属于同一个小块并不矛盾。

九环模型的构造

以右、上、前分别为 $x, y, z$ 轴正方向。每个方向都有三层，坐标可记成 $- 1, 0, 1$ 。固定一个层，只观察绕该轴在四个侧面间流动的贴纸：四面各有三张，总共 12 张。将这条侧带画成闭合曲线，就得到一条环。

三个轴各有三层，因此共有九条环。把同一轴的三条环画成同心圆，便得到截图那种三组圆环的结构。

一张前面贴纸的法向沿 $z$ 轴。它既位于某条固定 $x$ 的侧带，也位于某条固定 $y$ 的侧带，所以在图中属于两条环。每条环有 12 个位置，每个位置被算了两次，于是

\frac{9 \times 12}{2} = 54.

另一种算法是数交点：三组环之间有三种组配对，每种配对包含 $3 \times 3$ 对圆，每对相交两次，因此也是 $3 \times 9 \times 2 = 54$ 。这里选择的圆半径与排布避免了多个交点重合。

侧带转动的模运算表示

沿某条环，把 12 个位置暂记为 $0, 1, \dots, 11$ 。四分之一转将一个面的三格条带送到下一个面，对应

j \mapsto j + 3 (\mod 12) .

因此这一步分成三个 4-循环：

(0 3 6 9) (1 4 7 10) (2 5 8 11) .

反向转动把加 3 改成减 3。重复四次后各点归位，这与原魔方一致。若让所有点只沿环前进一格，得到的将是一个 12-循环，不对应这里的合法转面。

面内贴纸的同步置换

上面的圆环只画出了侧带。转 U 时，上面自身的八张非中心贴纸也要换位。它们发生在 U 面对应的九点簇内，不能只盯着大圆环的滑动而忽略它们。

在下面的动画中选择 U，慢速单步观察：大环上有 12 点移动，面簇内部另有 8 点移动。跟踪编号可以看到，即使同色面看起来没有改变，贴纸仍可能已经换位。

圆环模型的对应关系与限制

圆环排布为 54 个位置重新选择了平面坐标，却保留每个合法动作的起点、终点对应关系。只要每个位置都能唯一找回，重新排布就不会丢失完整的贴纸状态。

但曲线相交并不意味着贴纸可以自由换轨。一次合法动作会同步更新整层，不能只挑一个圆点移动。图中的线段首先表示绘图关系，不是允许一颗珠子独自通过的道路。

圆的半径、屏幕上的距离和动画速度，也不属于群的结构。面簇内部使用便于观察的曲线连接正确的端点；不同的连续轨迹可以表示相同的离散置换。判断模型是否正确，要检查每一步完成后的全部贴纸对应关系。

五、交换子、共轭与局部操作

交换子的定义与作用

定义交换子

[A, B] = A B A^{- 1} B^{- 1} .

仍按从左到右执行。它与完整撤销 $A B$ 的序列 $A B B^{- 1} A^{- 1}$ 相差一个顺序。如果 $A, B$ 可交换，就能调整顺序并全部抵消，得到 $[A, B] = e$ ；反过来，交换子等于 $e$ 也能推出两者可交换。

因此 [R,L] 最终不改变任何贴纸，而 [R,U] 会留下变化。设计魔方公式时，人们会选取大部分影响可以互相抵消的操作，使剩余变化集中在较少的小块上。交换子提供了构造局部效果的方法，但任意一个交换子并不都“只动三个块”。^[7]

循环分解与交换子的阶

令 $C = R U R^{- 1} U^{- 1}$ 。按前面的贴纸编号计算，它包含两个 6-循环、两个 3-循环，其余贴纸固定。因此

ord (C) = lcm (6, 6, 3, 3) = 6, C^{6} = e .

这里的最小公倍数保证四个循环同时归位。只看块的位置，可能会发现有些角块经过两次就回到了原来的角，却仍朝向错误。完整贴纸置换同时记录位置和方向，因此能给出正确周期。

用编号贴纸验证还有一个好处：同颜色的两张贴纸在画面上很像，但编号不会把一次真实换位误认成“没有变化”。

共轭与作用位置的变换

假设 $A$ 是一个已经掌握的局部操作， $P$ 是准备步骤，那么

P A P^{- 1}

表示先用 $P$ 把目标对象送入 $A$ 的作用区，执行 $A$ ，最后撤销准备步骤。没有被 $A$ 影响的对象恢复原状，被影响的对象则留下局部变化。这称为共轭。

共轭保留置换的循环长度和阶。可以把它理解为：原来沿某一组编号进行的循环，被一致地搬到了另一组编号上，循环的内部结构没有改变。准备步骤仍须是合法操作，且要留意块的方向，不能任意指定几张独立贴纸来“搬运”。

下面先比较 RU 与 UR，再切换交换子。最后观察 F[R,U]F'：它的作用位置改变了，但循环类型仍与 [R,U] 一致。

这也解释了魔方公式中的一种常见结构：先把需要处理的块放到熟悉的位置，执行局部公式，再恢复准备动作。理解结构后，公式可以被检查和组合，不必把它当成一串互不相关的转动。

六、状态不变量与可达性

状态坐标与不变量

不变量是无论做多少次合法操作都保持不变的量。寻找不变量时，可以先检查基本生成动作：如果它们全部保持某个量，那么任意有限次组合也保持它。

固定六个中心后，把状态记录为角块排列 $π_{c}$ 、角块方向 $t_{i}$ 、棱块排列 $π_{e}$ 、棱块方向 $f_{i}$ 。角块方向有三种，以 $0, 1, 2$ 表示；棱块方向有两种，以 $0, 1$ 表示。这里的方向标签必须在所有位置采用一致约定，不能随意从观察者的左右判断。^[4]

角位置的三个槽按相同手性编号，让 U／D 槽为 0。例如右上前角按 U、R、F 依次记 0、1、2；右下前角则按 D、F、R。白／黄贴纸落入哪个槽，就是方向值。棱位置的第一槽优先取 U／D；没有 U／D 时取 F／B。棱块的参考颜色也按这一优先级选取：它落在第一槽记 0，另一槽记 1。下面的约束使用这套约定。

角块方向约束

所有合法状态都满足

\sum_{i = 1}^{8} t_{i} \equiv 0 (\mod 3) .

上、下面的转动只会重新排列方向值，其他面的四分之一转对四个相关角块增加两个 1 和两个 2，总增量为 $6 \equiv 0 (\mod 3)$ 。方向和因而保持不变。

单独把一个角拧 $120^{\circ}$ ，会让总和变成 1 或 2，无法通过合法转面回到复原时的 0。两个角分别扭转相反方向则不违反这项约束。

棱块方向约束

棱块满足

\sum_{i = 1}^{12} f_{i} \equiv 0 (\mod 2) .

在一致的常用方向约定下，一个生成动作会改变零个或四个棱块的方向值，总变化为偶数。因此只翻转一条棱、其他块完全不变的状态不可达。这里说的是方向坐标，不能把它简单等同于“白色有没有朝上”。

角块与棱块的排列奇偶性

一个外层四分之一转，在块的位置层面同时产生一个角块 4-循环和一个棱块 4-循环。两者各自是奇排列，所以每次转动会同时改变二者的奇偶性。从复原状态出发，它们始终保持一致：

sgn (π_{c}) = sgn (π_{e}) .

单独交换两条棱或两个角都会违反条件。注意这说的是块的排列：同一个转动在贴纸层包含五个 4-循环，不能把两种对象的奇偶性混为一谈。^[2]

合法状态的计数

角块有 $8!$ 种排列，前七个方向任意选，第八个由模 3 和确定，故有 $3^{7}$ 种方向组合。棱块同理，有 $12!$ 种排列和 $2^{11}$ 种方向组合。两类排列须同奇偶，再将组合数除以 2：

\begin{aligned} | G | & = \frac{8! 12! 3^{7} 2^{11}}{2} \\ = 43 252 003 274 489 856 000. \end{aligned}

这个等式还使用了一个事实：对正确的小块集合，上述三个条件不仅必要，而且充分。充分性需要能成对纠正方向、用三循环处理偶排列的构造；若两类排列同为奇，先做一次四分之一转使它们同时变偶。配合适当共轭，可把局部构件用于不同位置。仅仅写出计数乘积，并不能替代这个可达性论证。^[3]

这里已经固定中心参照系，不再除以整体朝向的 24 种选择。也不能把“每种颜色各九张”当作充分条件：任意乱贴的布局还可能含有根本不存在的颜色对或角块组合。

七、凯莱图与最短路径搜索

贴纸图与状态图

一个图由顶点和连接顶点的边构成。沿边依次经过顶点得到路径；若每条边代价为 1，最短路径就是边数最少的路径。

对魔方可以建立不同的图。圆环图中的点是贴纸位置，一个画面共同描述整颗魔方。用于求解的状态图中，一个点则是完整的合法魔方状态，一条边表示执行一次允许动作。后者一个节点就包含了前者整幅图的信息。

以群元素 $g \in G$ 为顶点，对每个允许动作 $s$ 连接 $g$ 与 $g s$ ，得到群的凯莱图。以复原状态对应单位元 $e$ ，求解就是寻找

g s_{1} s_{2} \dots s_{k} = e

的路径。动作串表示 $g^{- 1}$ ，最短解是在指定步数度量下的最短表达。单张贴纸各自的最短路线不能直接合起来，因为整层动作与小块绑定要求所有对象协调运动。

十六状态子群的凯莱图

暂时只允许 U 和 D 转动。它们可交换，并且各转四次归位，因此每个可达状态都能写成

U^{a} D^{b}, a, b \in {0, 1, 2, 3} .

两个指数分别记录上层和下层的变化，不同指数对产生不同状态。这个子群有 $4 \times 4 = 16$ 个元素，记作

H = ⟨ U, D ⟩ ≅ C_{4} \times C_{4} .

符号 $\times$ 在这里把两套独立旋转组成有序对，运算分别对两个坐标模 4 相加； $≅$ 表示两种描述的操作结构相同。

在下面的图中，节点 $(a, b)$ 代表整颗 $U^{a} D^{b}$ 魔方。选择节点，可以直接查看其实际状态。它是完整魔方问题中的一个受限子问题，不代表任意打乱都能用 U、D 复原。

广度优先搜索与最短路径

广度优先搜索（BFS）使用先进先出的队列。先访问起点，再访问一步能到达的状态，再访问两步能到达的新状态，依次向外扩展。每次发现新节点时，记录从哪个父节点、通过哪个动作到达它。

因为每条边的代价都为 1，首次发现目标时，所有可能更短的层都已被处理。沿父指针从目标回溯到起点，再倒转记录顺序，就得到一条最短解。

访问集合用来避免重复。U D 与 D U 是不同动作串，却通往同一节点；四次 U 又回到起点。如果把每条动作串都当成新状态，搜索会重复劳动。动画实际计算邻居和父指针，然后按层展示结果。

转动度量与状态图直径

QTM 是四分之一转度量，一次 $90^{\circ}$ 算一步，半转算两步。HTM 是半转度量，一次 $90^{\circ}$ 或 $180^{\circ}$ 都算一步。起点 $(2, 2)$ 在 QTM 中需要四步，在 HTM 中用 U2 D2 两步即可复原。

对于完整三阶魔方，已证明的最远最短距离分别为 QTM 的 26 和 HTM 的 20。这叫状态图的直径；凯莱图各节点具有相同的局部结构，最远的两点距离也等于从复原节点出发的最大距离。^[8]^[9]

“所有状态都能在 20 步内复原”不表示每个状态都需要 20 步，也不保证随便一种算法都会给出这样的解。记录打乱后倒放，只展示一个解，没有排除更短的路径。

完整图约有 $4.3 \times 10^{19}$ 个节点，无法像这个小实验一样直接展开。实际求解器使用启发式下界、预计算和子群来减少搜索。两阶段算法先把状态送入方向受限的子群，再在其中复原；这样的结构化搜索能快速得到短解，但“使用两阶段”本身不等于保证全局最短。^[10]

置换、群与图的统一视角

圆环图使同一组贴纸置换更容易被追踪。群论解释这些操作如何组合、撤销，以及哪些状态可以到达；状态图进一步把复原写成一条路径。理解时始终记住两件事：圆点到底代表贴纸还是完整状态，以及一次合法操作必须让哪些对象同时移动。

参考资料

灵感截图：The Math Flow 发布的圆环动画。原始制作作者未核实，此处保留的是阅读时看到的截图。
Michael Hutchings — The mathematics of Rubik’s Cube。群、置换、魔方操作与不变量；幻灯片第 8–9、23、28–34 页。
Jaap Scherphuis — Group Theory for puzzles。排列奇偶性、三循环、共轭与交换子；第 5、7 节。
Herbert Kociemba — The Cubie Level。角块、棱块的位置与方向表示。
WCA Regulations — Article 12: Notation。六面转动、逆转和半转记号。
Herbert Kociemba — The Faceletlevel。贴纸层编号与位置表示。
Jaap Scherphuis — Useful Mathematics。Conjugation、Commutation 两节。
God's Number is 20。2010 年完整三阶魔方 HTM 直径的计算证明。
God's Number is 26 in the Quarter Turn Metric。2014 年 QTM 直径的计算证明。
Herbert Kociemba — The Two-Phase Algorithm Coordinates。两阶段求解及子群坐标。